Bueno, es muy complicado de explicar... Es todo cuestión de física. A ver si consigo aclarar alguna cosa
¿Entonces un caballo corriente con poca doma de paseos no se desplazaría hacia a un lado u otro cuando el jinete lo hiciera para equilibrarse?
En realidad los que no lo suelen hacer son los caballos que siempre han sido de tanda, que tienen una doma muy básica y ya están más que hartos de llevar jinetes de culo inquieto, nunca mejor dicho, encima; han aprendido a ignorar las señales que no son las básicas paso-trote-galope-giro. Un caballo que se está empezando a domar sí suele desplazarse al notar el cambio en el centro de gravedad.
No entiendo para que hay que liberar el tercio anterior en el galope, si en el primer tiempo remete un posterior, entendería que le ayudas más inclinándote hacia adelante como hacen los jockeys.
Inclinándote hacia delante favoreces la velocidad, y mientras no sea una carrera, la velocidad no nos interesa. El tercio anterior ya soporta el 60% del peso del caballo, no necesita que añadamos el nuestro propio

El movimiento del galope hay que imaginarlo como una mecedora. La grupa sube, mientras que la espalda baja. Los posteriores proporcionan un impulso a la grupa hacia arriba mayor que el que dan los anteriores a las espaldas, porque los posteriores son para propulsar mientras que los anteriores son para "sujetar el cuerpo" mientras avanza, no sé si me explico. Los que tienen la potencia en el galope (y en cualquier aire realmente, pero en el galope se nota más) son los posteriores. Por eso ellos solitos tienen capacidad de elevarse. Sin embargo los anteriores no poseen esa potencia, por lo que si nos inclinamos hacia delante en el trabajo adelantamos el centro de gravedad, soportan más peso del que les correspondería y no tienen tanta libertad para elevarse, por lo que las espaldas en lugar de subir en el movimiento avanzan de forma horizontal. En una carrera de velocidad interesa adelantar el centro de gravedad para favorecer el avance horizontal frente al vertical, dado que se trata de recorrer una distancia X en el menor tiempo posible. Cabe decir que cuanto más adelantado esté el centro de gravedad menos margen de reacción tiene el caballo ante un tropiezo y más posibilidades tiene de acabar en el suelo.
¿Y si es para liberar el tercio anterior, por qué sirve para ir más despacio o salir al galope o trote mas controlado, si le estaríamos cargando más los posteriores, con los que frena?
Vaya lío tengo jeje
Cuando uno frena echa el peso atrás para no irse de morros al suelo

A ver, no se trata de tumbarse hacia atrás, se trata de llevar los hombros atrás. Sigue siendo por lo mismo: la posicón del centro de gravedad.
A ver si con un ejercicio de imaginación puedes terminar de visualizarlo: tú, corriendo con una mochila cargada (corriendo de que vas corriendo, no de que vayas con prisas a lo loco). Imagina que la llevas en una posición centrada. Bien, ahora esa mochila se va hacia delante empujando tu espalda un poquito, así que ahora vas ligeramente inclinada hacia delante con la mochila a cuestas, por lo que tu centro de gravedad está adelantado. Si quieres ganar velocidad te irá bien, pero ojo con los adoquines del suelo, que como hay uno suelto te caes seguro. Sin embargo, si pretender correr a una velocidad normal, te darás cuenta de que no puedes levantar bien las rodillas, y a la larga acaba siendo más fatigoso correr así que con la mochila como estaba previamente. Ahora, en lugar de adelantarse, la mochila te lleva la espalda hacia atrás, tira un poco de tí. De esa forma acelerar y alcanzar una buena velocidad es complicado... el centro de gravedad está por detrás, te "frena". Pero con el centro atrasado puedes elevar mucho más las rodillas, y desde luego un tropiezo no es tanto problema, tienes espacio de sobras para corregir y evitar la caída. Nosotros corriendo con una mochila no es exactamente lo mismo que un caballo con nosotros encima, pero yo creo que como ejemplo para poder entender puede valer.