Doma y monta (así, a secas) no es lo mismo. Un caballo montado digamos que estaría acostumbrado a que lo montarán, mientras que si dicen que está domado, es que ya está haciendo al menos algunos ejercicios (de western, vaquera o lo que sea).
Después, si te dicen que un caballo tiene monta western, o doma western, yo casi lo consideraría lo mismo, desde mi desconocimiento de esa disciplina.
Si te hablo de lo que yo conozco, no es lo mismo que un caballo esté montado "a la clásica" que que tenga doma clásica. Montado a la clásica puede significar que se le monta con silla inglesa y filete (o pelham) en vez de con silla y cabezada vaquera. Que tenga doma clásica ya supondría que domina bien los ejercicios de un determinado nivel.